财经与咨询讨论系列

联邦储备委员会，华盛顿特区。ISSN 1936-2854（印刷版）ISSN 2767-3898（在线版）

现在预测模型的附加功能：哪些重要以及何时重要？

Freddy Garc´ıa-Alb´an 和 Manuel Gonz´alez-Astudillo

2026-068

请引用本文时写为：
Garc´ıa-Alb´an, Freddy, 和 Manuel Gonz´alez-Astudillo (2026)。“现在预测模型的附加功能：哪些重要以及何时重要？”，财经与咨询讨论系列 2026-068。华盛顿：联邦储备系统董事会，https://doi.org/10.17016/FEDS.2026.068。

注意：财经与咨询讨论系列（FEDS）中的工作人员工作论文是初步材料，用于激发讨论和批判性评论。所呈现的分析和结论是作者的，不代表研究工作人员或董事会其他成员的一致意见。除承认外，在出版物中引用财经与咨询讨论系列（FEDS）时应与作者（们）联系，以保护这些论文的临时性质。

现在预测模型的附加功能：哪些重要以及何时重要？^∗

Freddy Garc´ıa-Alb´an^†

Manuel Gonz´alez-Astudillo^‡

2026年9月18日

摘要

本文研究了贝叶斯动态因子模型的哪些特征可以改善美国GDP的现在预测，并且这些特征在不同历史时期的作用是否有所不同。使用25个系列的伪实时信息集，我们估计了16种动态异质性、随机波动性、时变长期增长和乘法异常值调整的组合。我们使用平衡配对因子对比评估它们对点预测、密度预测和分位数评分预测的边际贡献。动态异质性改善了点预测、密度预测和尾部预测，并且是唯一一致有助于所有三个标准的特征。随机波动性在某些时期改善了密度预测和尾部预测，但没有一致改善点预测。时变长期增长在某些时期降低了平方误差损失，但恶化了尾部预测。异常值调整总体上没有改善点预测或密度预测，但在疫情期间对上尾分位数评分有有利但估计不精确的影响，之后则恶化了这些评分。

关键词：贝叶斯动态因子模型；预测评估；随机波动性；长期增长；异常值。

JEL分类：C11；C32；C53；E37。

1 引言

现代短期预测模型的哪些功能实际上提高了其性能，以及在哪些历史时期？最近用于短期预测的贝叶斯动态因子模型在几个方面得到了丰富，每个方面都与宏观经济的特定特征相关。动态异质性将模型的每个高频可观测变量与共同因子及其滞后项联系起来，适应了领先和滞后变量对经济周期反应时机的差异。随机波动性允许模型的冲击方差随时间变化，这是对经济状态不确定性急剧上升和下降的自然反应。随时间变化的长期增长允许趋势GDP增长逐渐演变，而不是保持固定，捕捉持续的放缓或加速。乘法异常值调整适应了异常大的观测值，而不让它们扭曲样本其余部分的估计波动性。这些特征中的每一个都有明确的经济或统计理由，但每一个也都增加了复杂性和计算成本，而且并不明显这些特征中的任何一个，无论是单独还是组合使用，实际上都能改善短期预测。

尽管一些特征如动态异质性和随时间变化的长期增长在COVID-19大流行之前就已经被提出（例如，参见D’Agostino等人，2016年；Antol´ın-D´ıaz等人，2017年），但在2020年宏观经济数据的极端波动重新引发了对随机波动性和对异常值稳健的方法的兴趣，这些方法能够处理波动性的急剧变化和厚尾（参见Antol´ın-D´ıaz等人，2024年；Carriero等人，2024年等）。这引出了一个自然的问题：这些特征的好处是否普遍，还是集中在特定的时期，比如大流行期间？

大量研究使用混合频率因子模型进行短期预测。Giannone等人（2008年）和Banbura等人（2013年）的框架为许多这样的系统提供了基础。随后的工作包括了贝叶斯估计和随机波动性（Carriero等人，2015年）、实时数据流考虑、异质因子动态以及对大流行异常值和厚尾的明确处理（例如，参见Almuzara等人，2023年；Antol´ın-D´ıaz等人，2024年；Hong，2025年）。这些研究通常一次引入并评估这样一个特征，与单一基准规范相对比。这使得很难知道一旦将该特征与其他特征结合使用时，它是否仍然有帮助，或者它的明显有用性是否与它被评估的特定样本期有关。

此文献中的大多数研究也会在整个样本期间比较一组完整的模型规格。例如，Carriero等人（2019年）总结了大量针对不同模型类别、规格、预测范围和评估样本的点预测和密度预测比较。这些比较对于选择预测模型很有用，但它们并没有揭示出更丰富规格中哪些具体元素推动了性能的提升。我们在两个方面对这一文献做出了贡献。首先，我们不是逐一评估动态异质性、随机波动性、时间变化的长期增长和乘法异常值调整，而是将这四个因素一起考虑，并使用完全因子设计来独立于任何单一基准选择地隔离每个特征的边际贡献。其次，我们使用点预测、密度预测和分位数得分标准分别评估这些边际贡献，针对疫情前、疫情中和疫情后的时期，将每个特征的效用与特定的预测目标和历史事件联系起来，而不仅仅是平均表现。

我们估计了这四个特征的所有16种组合。⁴ 这种完全因子结构使我们能够比较两个模型，这两个模型只有一个特征不同，而其余三个特征保持不变。然后我们将这些成对比较平均到其他特征的八种可能配置中，以获得一个不依赖于单一基准模型选择的每个建模选择的边际贡献度量。

因此，我们的预测评估对象与Diebold和Mariano（1995年）以及Giacomini和White（2006年）文献中常用的成对损失差异不同。对于每个目标季度和预测范围，我们计算了开启和关闭特定特征相关的成对差异的平衡平均值，使用平方预测误差的对数损失差异和连续排名概率得分（CRPS），以及水平上的分位数得分差异。然后我们将这些对比在完整的评估样本上以及三个时期：疫情前、疫情中和疫情后进行平均。为了考虑不确定性，我们在保持给定季度的所有七个预测范围的同时，对目标季度进行引导。

我们从2015年第一季度到2024年第四季度的伪实时预测练习结果表明，动态异质性在点预测、密度预测和分位数评分预测方面带来了最清晰的改进：它平均降低了平方误差损失16.8%，CRPS降低了7.6%，并且是唯一一个在整体分位数评分中精确估计到改进的特征，将90百分位数评分降低了6.2%。随机波动性总体上也有助于改进预测，特别是在大流行之前，当时它降低了平方误差损失、CRPS以及两个尾部分位数评分，尽管统计证据不如动态异质性那么确定。随时间变化的长期增长平均降低了平方误差损失13.3%，但估计结果存在很大的不确定性，没有延伸到CRPS，并且带来了一定的成本：它将低尾分位数评分提高了3到4个百分点。乘法异常值调整既没有改善平均点预测也没有改善密度预测性能；它在上尾分位数评分中看似整体增加了20%以上的收益，但估计结果并不精确。纵观历史时期，动态异质性和随机波动性在大流行之前显示出最显著的收益，而随时间变化的长期增长在大流行之后在点预测中产生了最大的改进。值得注意的是，尽管乘法异常值调整特别受到异常大观测值的驱动，但在大流行期间在点预测或密度预测方面并没有显示出明确的好处，但在那个时期其对上尾分位数评分的点估计确实有所改善；大流行之后，其点估计在平方误差损失、CRPS和上尾分位数评分方面都变得不利。

本文的组织结构如下。第2节描述了数据。第3节介绍了现在预测模型和考虑的四个特征。第4节讨论了伪实时预测练习，而第5节描述了用于评估每个特征边际贡献的平衡配对因子对比。第6节呈现了结果，第7节得出结论。

2 数据

我们使用了一个数据集，包含25个美国系列，作为纽约联储工作人员现在预测数据环境的一个子集，由Almuzara等人（2023）描述。数据包括三个季度变量和一组在季度内不同时间点变得可用的月度指标。表1报告了变量的完整列表、它们的转换以及频率。¹

根据Almuzara等人（2023年）的研究，估计样本从1985年开始，到2024年12月结束，具有较短历史的序列在可用时进入面板。对于预测评估，我们使用了每个序列最新可用版本的修订后观测值，这些数据是在2025年底下载的。然后通过根据它们的发布滞后遮蔽观测值来构建月度伪实时信息集。因此，这项练习再现了这些滞后所暗示的月度参差不齐的边缘，但不包括实时数据修订。我们在估计之前对所有序列进行了转换和标准化。附录中的图A.1显示了在模型估计中使用的每个变量的演变。

表1：现在casting练习中使用的变量

变量	频率	单位	发布滞后
实际国内生产总值	Q	季度环比%变化，年化	1
实际国内收入总额	Q	季度环比%变化，年化	2
非农商业部门单位劳动力成本	Q	季度环比%变化，年化	2
所有员工：非农总数	M	水平变化，千人	1
JOLTS：总职位空缺	M	水平变化，千人	2
民用失业率	M	百分点变化	1
ADP非农私营就业人数	M	水平变化，千人	1
工业生产指数	M	月环比%变化	1
制造商新订单：耐用品	M	月环比%变化	1
商业批发商库存：总计	M	月环比%变化	2
总商业库存	M	月环比%变化	2
制造商发货量：耐用品	M	月环比%变化	2
制造商未完成订单：所有行业	M	月环比%变化	2
制造商库存：耐用品	M	月环比%变化	2
零售销售及餐饮服务	M	月环比%变化	1
实际个人消费支出	M	月环比%变化	1
新售单户家庭住宅	M	月环比%变化	1
房屋开工量	M	月环比%变化	1
已完成建设的价值	M	月环比%变化	2
建筑许可	M	水平变化，千人	1
出口：商品和服务	M	月环比%变化	2
进口：商品和服务	M	月环比%变化	2
实际可支配个人收入	M	月环比%变化	1
费城联邦储备银行制造业业务	M	指数	0
展望：当前活动帝国州制造业调查：一般商业状况	M	指数	0

注释：Q表示季度，M表示月度。QoQ和MoM分别表示季度对季度和月对月的变化；ann.表示年化，ch.表示变化，thous.表示千，ppt.表示百分点。发布滞后是从参考期结束时起计算的月份。滞后0表示在参考月内可用，而滞后1和2分别表示在参考月后的一个月和两个月可用。

3 现在casting模型

设y_t 是一个包含月度变量和季度变量（潜在的）月度表示形式的n×1向量。我们指定测量方程为

(1)

其中c_t 包含确定性或缓慢移动的长期增长成分，f_t 是一个共同因子，Λ(L)是因子载荷的滞后多项式，u_t 包含变量特定的特有成分。

共同因素遵循一个平稳的AR(2)过程，如下所示：

(2)

而每个变量i的特异性成分也遵循平稳的AR(2)动态，并满足

(3)

其中o是一个严格正的乘法异常值。²

我们在评估模型特征时考虑的第一个特征是动态异质性。在D’Agostino等人（2016）的基础上，并采用Antol´ın-D´ıaz等人（2024）的简洁的一滞后规范，我们允许共同因素同时进入测量方程，并带有一个滞后，如下所示：

在受限设置中，Λ(L) = Λ₀我们将共同因素在实际GDP方程中的同期负载标准化为一。

第二个特征是随机波动性。当包括它时，共同因素和特异性冲击的对数波动性会像Primiceri中描述的那样，作为无漂移的随机游走演变。

(2005):

(4)

(5)

在受限规范中，ε的波动性_t 和η_i,t 随时间保持恒定。

第三个特征允许长期增长随时间变化。遵循Antol´ın-D´ıaz等人（2017）的做法，我们指定

其中g_t 是一个共同的长期增长成分，它进入实际GDP和实际GDI方程。其余变量不加载g_t.³ 时间变化的长期增长也被纳入其他实时预测模型中，以允许趋势增长的持续变化，并且已显示可以改善它们的性能（例如，参见Gonz´alez-Astudillo和Baquero，2019；Almuzara等人，2023；Antol´ın-D´ıaz等人，2024）。在我们的模型中，

(6)

最后，我们考虑对异常观测值进行乘法调整。当这个特征不活跃时，对所有i，t，o = 1。当它活跃时，我们遵循Hong（2025）的做法，并假设标准化的特异性创新，√o_i,tη_i,t/pexp(h_{η ,t})，遵循具有ν_i 自由度的Student-t分布。⁴ 我们使用等效的正态-逆伽马表示进行估计：

(7)

等价地，ν_i/o_i,t ∼ χ²_ν .

我们使用贝叶斯方法估计模型。对于每种规格和每月的伪实时信息集，我们将前10,000次吉布斯抽样迭代作为烧除，并保留每50次后续抽取中的每一个，直到获得1,000个后验抽取。我们使用高斯收缩先验对因子载荷和自回归系数进行先验设定，对方差参数使用逆伽马先验。吉布斯抽样器使用Durbin和Koopman（2002）的模拟平滑器，并在因子、载荷、自回归参数、随机波动性（使用Kim等人（1998）的抽样器）、异常值和自由度（遵循Jacquier等人（2004））之间交替，适用于每个模型。我们使用Mariano和Murasawa（2003）的聚合恒等式按月频率处理季度变量。遵循Hong（2025），我们对潜在的季度特有成分施加聚合限制，而不是直接对观察到的季度变量施加限制。这种规格允许更快的吉布斯抽样器。附录A.2-A.6部分详细描述了混合频率状态空间表示、先验和估计算法。

4 预测设计

我们使用所有16种可能的模型规格评估前一节中描述的四种二元特征。因此，与将每个特征依次添加到特定基准的练习不同，我们的设计评估每个特征在所有可能的剩余特征配置中的表现。让s索引每个模型规格。图1列出了整篇论文中使用的紧凑规格标签以及一个规格与另一个规格之间的特征变化。

我们进行了一个伪实时预测练习。评估单元是一个预测任务τ = (q, h)，其中q是目标季度，h是相对于该季度末的月度范围，符号约定为

其中h = 0表示目标季度的最后一个月，负值表示季度结束前的月份，h = +1表示季度结束后的第一个月。因此，每个目标季度贡献了七个预测任务：h = −5, . . . , −1是预测范围，h = 0是现在预测范围，h = +1是回溯预测范围。

对于每个每月的版本，数据集根据发布日历和相应的参差不齐的边缘进行截断，并且图1中的16个规格在截断数据上重新估计。然后每个重新估计的规格预测由版本日期和GDP发布延迟所暗示的目标季度的实际GDP。⁵ 预测

图1：模型规格标签

16个模型规格作为一个4维超立方体（边缘连接在恰好一个特征上不同的规格）

注释：每个节点是16个模型规格之一。B表示没有随时间变化的长期增长的规格，而T表示有随时间变化的长期增长的规格；当随机波动性、动态异质性和异常值调整处于活动状态时，分别附加后缀SV、DH和O。这16个规格形成了一个四维超立方体，这里被描绘为两个三维立方体（左：恒定的长期增长；右：随时间变化的长期增长）在其余三个特征上，异常值调整在水平轴上，随机波动性在垂直轴上，动态异质性在每个立方体的对角轴上。每当两个规格在一个特征上恰好不同时，它们之间就会有一条连接线：实心灰色边框在立方体内部切换随机波动性、动态异质性或异常值调整，而虚线橙色边框在两个立方体之间切换长期增长。

根据用于构建数据集的最新可用的修订GDP值进行评估。我们的评估样本涵盖了从2015年第一季度到2024年第四季度的目标季度。我们将它分为三个时期：2015年第一季度至2019年第四季度、2020年第一季度至2021年第四季度以及2022年第一季度至2024年第四季度，分别称为疫情前、疫情期间和疫情后时期。这种划分是基于目标季度的。这种分割允许我们调查在平均情况下有用的特征是否根据宏观经济环境的不同而有不同的贡献。

5 预测评估

5.1 预测构建和损失函数

对于任务τ和规格s，让{y_τs }_r=1 (r) R_τs 表示实际GDP增长的后验预测抽样，让y_τ 表示实现的值。点预测是后验预测均值，

(8)

我们用三个损失函数对每个规格进行评分。平方预测误差损失衡量点预测的准确性，

(9)

CRPS衡量密度预测的准确性，

(10)

L^sfe τs和L^crps 都是按构造为非负的，在我们的评估样本中严格为正。然而，两者都没有揭示一个特征如何影响预测分布的极端值，因此我们还直接对预测分布的尾部进行评分。让q_α,τs 表示任务τ和规格s的预测α分位数。分位数得分是

(11)

我们在α ∈ {0.05, 0.10, 0.90, 0.95}时进行评估；QS_α,τs 按构造≥ 0，较低的值表示更好的尾部分位数预测。

5.2 平衡配对因子对比

我们通过单一构造应用于τs预测误差和CRPS损失，对每个特征的边际贡献进行隔离，我们使用对数损失；对于分位数得分，我们直接使用得分：

(12)

让F表示第3节中描述的四个特征的集合，并定义x_js 如果特征 j ∈ F 包含在规格 s 中，则为 1，否则为 0。因为一个规格完全由四个特征指标来表征，我们用 z_(x , x_τ −j_j) 来表示它在任务 τ 的值，其中 x_−j 收集了其他三个特征的指标。_{对于每个任务和特征，我们比较那些仅在特征 j 上不同的规格。我们通过对其他三个特征的所有八种配置进行平均，而不是将它们固定在一个单一的基准组合上，因为如果不这样做，特征 j 的估计效应将取决于哪些伴随特征恰好是活跃的；通过对全部 2} 组合进行平均，消除了这种依赖性。我们定义平衡配对因子对比为

其中因为剩余的三个特征生成了 2³ 种可能的配置，所以有八对比较。d

(13)

τj³ 的负值表明，对于给定的目标季度和预测范围，包含特征 j 会平均降低 z 在这些配置中的值：当 z = log L_sfe τs^{或 z = log L}_crps τs^{时，它降低了平均对数损失，当 z = QS}_α,τs 时，它降低了平均分位数得分。在这种情况下，我们将对比写为 d_QSτjα^{，以明确显示对分位数水平的依赖。}_{我们通过平均任务级别的对比来获得特征 j 的总体贡献：} 其中 T 表示所有目标季度-范围任务的集合。同样，对于时期 p，我们计算

其中 T

(14)

包含与时期 p ∈ {大流行前，大流行中，大流行后} 目标季度相关联的任务。因此，所有三种损失的总体和时期特定效应的获得方式是相同的。

(15)

我们以百分比报告这些效应。对于平方预测误差和 CRPS 损失，_p 和

jp ^¯d_j 是平均对数损失差异，我们用 ^¯d_(以及用 jp

(16)

替换 ^¯d_{) 将其转换为损失的百分比变化。由于 z = QS} α,τs ^¯d_j本身并不是对数损失，这种指数变换对于分位数得分没有意义。相反，我们用特征 j 不活跃的匹配规格的平均分位数得分 QS_(−j) α (或其时期特定对应物) 来归一化 ^¯d^QS ，并报告^{这两种转换都保留了} 和

(17)

jp ^¯d_j 的符号，因此负的百分比变化继续表示包含特征 j 的改进。 ^¯d_jp, so a negative percent change continues to indicate an improvement from including feature j.

我们通过在目标季度层面上应用自助法来评估不确定性，这种方法同样适用于所有三种损失，并且既在全样本中计算，也在每个期间内计算。对于全样本对比，我们从完整的评估样本中用替换的方式重新抽样目标季度；对于特定期间的结果，我们在每个期间内重新抽样季度。在这两种情况下，当自助法抽样每个特征对比时，所有七个预测范围对应于同一季度的都被保持在一起。⁶ 我们使用了5,000次自助法复制，并报告了90%的置信区间。

6 结果

图2展示了四个模型特征在总体和不同制度下的效果，以平方预测误差和CRPS损失的百分比差异表示，负数表示当包含相应的特征时预测性能有所改善。⁷

图2：按损失函数和期间平衡配对的因子对比。

注释：点表示百分比效应，100(exp(d)−1)（或100(exp(d)−1)用于制度面板）；水平线表示从5,000次目标季度自助法复制中得到的90%置信区间。垂直虚线标示零效应。TV表示时变。 ^¯在图2的总体列中，最显著的结果是动态异质性的表现。其包含使平方误差损失减少了近17%，CRPS损失减少了约8%。在这两种情况下，90%的自助法区间都低于零，与其他三个特征形成对比。因此，在我们研究的所有特征中，动态异质性是唯一一个可能对总体样本中的点预测和密度预测都产生改进的特征。 ^¯这一结果与D’Agostino等人（2016年）和Antol´ın-D´ıaz等人（2024年）强调的机制一致。D’Agostino等人（2016年）表明，在动态同质性下，持续的低波动性指标可能会不成比例地塑造共同因素，而允许异质的领先-滞后模式则会产生更及时的商业周期指标。同样，Antol´ın-D´ıaz等人（2024年）认为，如果没有异质的负载，共同因素会被移动缓慢的调查指标拉向一边，并且滞后于更快移动的指标，如耐用品支出和投资，特别是在经济活动的转折点周围。允许每个序列拥有自己的滞后结构可以纠正这种不匹配。

尽管D’Agostino等人（2016年）在他们的较短评估样本中没有发现与同质模型相比有统计学上显著的预测增益，但我们的因子比较识别出了平方误差损失和CRPS的改进。⁸

This result is consistent with mechanisms emphasized by D’Agostino et al. (2016) and Antol´ın-D´ıaz et al. (2024). D’Agostino et al. (2016) show that, under dynamic homogeneity, persistent, low-volatility indicators can disproportionately shape the common factor, whereas allowing for heterogeneous lead–lag patterns produces a more timely indicator of the business cycle. Similarly, Antol´ın-D´ıaz et al. (2024) argue that, without heterogeneous loadings, the common factor is pulled toward survey indicators that move slowly and lags fastermoving indicators such as durable spending and investment, particularly around turning points in economic activity. Allowing each series its own lag structure corrects this mismatch.

Although D’Agostino et al. (2016) do not find a statistically significant forecasting gain over the homogeneous model in their shorter evaluation sample, our factorial comparison identifies improvements in both squared-error loss and CRPS.

此外，将每个规格的全样本因子与两个外部经济活动基准进行比较，例如PDFP增长和GDPplus（Aruoba等人，2016年），显示具有动态异质性的规格比没有它的那些规格更紧密地跟踪这两个基准：与PDFP增长的相关性平均从-0.10上升到0.50，与GDPplus的相关性从0.17上升到0.69，无论模型是否还包括随机波动性或共享趋势，这种模式都成立。⁹

随机波动性的点估计值意味着在平方预测误差损失上减少了12.2%，在CRPS上整体减少了3.8%，但90%的自举置信区间都紧密地包括了零。因此，它对现在预测性能的整体影响不如动态异质性那么确定。有利的CRPS点估计值与贝叶斯VAR文献中的证据一致，即随机波动性可以改善密度和区间预测（参见Clark, 2011; Clark和Ravazzolo, 2015; D’Agostino等人, 2013）。关于长期增长，其点估计值意味着在平方预测误差损失上减少了大约13%，但其90%的置信区间包括零，而其对CRPS的影响可能是不利的。最后，乘性异常值调整增加了两种损失；90%的区间包括零对于平方预测误差，但对于CRPS则不是。在这三个剩余特征中，随机波动性因此是在整个样本中最一致有益的，基于其点预测效应的长期增长是第二位的，而异常值调整是唯一在任何损失函数下都没有整体益处的四个特征之一。¹⁰

动态异质性的收益集中在疫情之外，如图2的最后三列分别显示的疫情前、疫情中和疫情后时期。在疫情之前，该特征改善了平方误差性能，而CRPS的改善发生在疫情前后。在2020-21年期间，损失的点估计值接近零，区间足够宽，无法确定明确的影响。

随机波动率的收益同样集中在疫情之前而不是期间。它在疫情之前改善了CRPS，而疫情期间的估计倾向于恶化密度预测，尽管该估计不精确。因此，尽管2020年的波动性变化特别显著，结果并未表明随机波动率在疫情期间产生了明确的预测改进。这一发现与相关证据一致，即在贝叶斯向量自回归（Bayesian VARs）和动态因子模型中，随机波动率在密度预测上的收益通常在平静或适度波动的样本中记录（参见Clark, 2011; Clark和Ravazzolo, 2015; Carriero等, 2024），而不是在像疫情期间这样极端的事件期间，当时波动性本身变化过于突然，以至于假设的随机游走过程无法在现在预测范围内追踪它。

包含时变长期增长并没有在三个时期中的任何一个时期提供稳健的CRPS改进。然而，包含这一特征在疫情后显著降低了平方误差损失，尽管该估计的不确定性仍然相对较大。一个缓慢演变的趋势可以吸收疫情后出现的平均增长的持久性变化，并提高当前点预测的准确性，但是估计这一趋势所增加的参数不确定性足以抵消密度项上的收益。最后，在疫情期间，乘性异常值调整并没有显示出明确的好处，这个阶段是为了部分适应其设计的异常大观测值。在2020-21年之前和期间，其效果在两种损失函数下估计都不精确。然而，在疫情之后，该调整提高了CRPS（密度预测能力的恶化），其90%的区间完全高于零，平方误差点估计也表明了一个不利的影响，尽管其90%的区间勉强包括零。这种疫情后的成本可能反映了同样的尺度混合参数，这些参数让调整吸收了2020年的极端观测值，继续在随后的更普通波动周围膨胀预测方差，当时这种保险已不再需要。

这些模式在图2的各个板块中清晰可见，强调了在只能增加一个特征的情况下，构建即时预测模型的从业者应优先考虑动态异质性，而不是其他三个特征。然而，异常值调整确实限制了在疫情期间个别预测失误的大小：如附录B所示，没有调整的几个规格在疫情期间产生了严重偏离实际GDP增长的即时预测，而带有异常值调整的规格则没有。

在第5.2节定义的分位数得分对比中，动态异质性仍然是最强的特征：在图3报告的整体结果中，它是唯一一个90%置信区间完全在零以下的特征，对应于第90百分位数。随机波动性和异常值调整在第90和第95百分位数处显示出大幅改进，但它们的区间很宽且包括零。随时间变化的长期增长提高了第5和第10百分位数的得分，区间不包括零，表明平均而言下尾表现更差。

图3：按分位数水平和时期划分的平衡配对因子对比，用于分位数得分。

注释：点是相对于匹配特征规格的平均分位数得分的百分比变化；水平线是来自5000个目标季度引导复制的90%引导百分位区间。垂直虚线标记零效应。TV表示随时间变化。

图3的其余列显示了按时期划分的相同对比。与平方误差和CRPS损失一样，最清晰的尾部预测收益通常出现在疫情前后，尽管在疫情期间也出现了一些有利的估计。从动态异质性开始，它在疫情前后改善了下尾得分，并在疫情后产生了最清晰的上尾收益。随机波动性也在下尾和上尾产生了几个收益，大多数是在疫情前。异常值调整在疫情期间改善了第90和第95百分位数的得分，这正是其效果最应显著的时候，尽管估计不精确；疫情后，这种调整对这些同样的百分位数得分变得不利。附录C.2以表格形式报告了这些特定于制度的效果，分为下尾和上尾分位数，以及给定特征降低分位数得分损失的引导概率。

结论7

7 Conclusion

在本文中，我们评估了四种通常用于丰富贝叶斯动态因子模型进行实时预测的特征的贡献：动态异质性、随机波动性、时变长期增长以及对异常观测值的乘法调整。我们不是将每个特征与单一基准规范进行比较，而是估计了这些特征的所有16种组合，并使用平衡配对因子对比来获得它们对预测性能的边际贡献。

我们的结果表明，动态异质性是在本练习中最有用的特征。它在平方误差损失和CRPS下都提高了平均性能，分别降低了16.8%和7.6%，而且它是唯一一个在总体分位数得分中精确估计到改善的特征，将90百分位数得分降低了6.2%。这些收益在疫情期间之外更为明显，特别是在疫情前的平方误差损失和疫情前后CRPS中。此外，这个特征还改善了疫情期间之外的上下尾部预测。

其余特征的证据不太确定。随机波动性总体上倾向于降低损失，并在疫情前降低了CRPS和两个尾部分位数得分，但其效果估计的不确定性更大，而且在疫情期间并没有产生明确的收益。时变长期增长并没有显著改善密度预测，并在疫情前恶化了下尾部分位数得分；它在疫情后产生了显著的平方误差损失降低，但同样的时期也是它对上尾部分位数得分造成最大损害的时候，提高了近20%。乘法异常值调整并没有改善平均点预测或密度预测性能，并且在疫情期间尤其有害，尽管这是部分由与该时期相关的异常大观测值所激发的特征。在疫情期间，其对上尾部分位数得分的点估计下降了约30%，尽管这并不精确估计。

总的来说，我们的结果表明，更大的模型灵活性并不一定转化为更好的实时预测。一个特定特征的有用性取决于预测目标和评估的时期。在我们的练习中，允许异质因子动态是唯一一个在全样本中产生统计支持的改进点预测、密度预测和至少一个分位数得分标准的四个附加功能之一。

数据可用性

数据将在请求时提供。

在手稿准备过程中声明生成性AI和AI辅助技术的使用。

在准备本作品时，作者使用了大型语言模型助手，特别是Anthropic的Claude和OpenAI的Codex，以简化代码、处理结果和润色撰写。使用这些工具后，作者审查并验证了所有输出，根据需要编辑内容，并对发表文章的内容负全部责任。

CRediT作者声明

Freddy Garc´ıa-Alb´an: 方法论、软件、验证、正式分析、数据整理、可视化、写作 - 原创草稿。

Manuel Gonz´alez-Astudillo: 概念化、方法论、软件、正式分析、可视化、写作 - 审查与编辑。

A 数据、模型和估计

本节提供了关于数据、完整模型公式和估计程序的额外详细信息，这些在第2节和第3节中进行了总结。

A.1 数据

表1报告了现在casting练习中使用的变量、发布频率和所使用的转换。图A.1绘制了每个系列在进入模型的单位中的情况 - 即在表1中报告的转换之后（三个季度变量的年度化季度对季度百分比变化；月对月百分比变化、水平变化或调查指数对于月度指标），但在估计前应用的标准化之前。所有面板跨越估计样本至2024年12月，而每个系列的绘制观察值从该系列自身的可用日期开始。这些日期有所不同，因为底层源系列的长度不同（例如，ADP非农私营工资和JOLTS总职位空缺仅从2010年和2001年开始提供）。

图A _. 1 : 在进入模型的单位中使用的现在casting练习中的25个系列（表1）之前 _st _一个d_年度_化过_程之_上估_计样_本l_e 之_通过₁₂b_月 2024

A.2 模型

让y_t 收集n = n_m + n_q 月度变量和与季度变量相关的潜在月度观察值，其中n_m 和n_q 表示月度和季度变量的数量。该模型在月度网格上编写为

(A.1)

其中c_t 包含长期增长项，f_t 是单一共同因素，u_t 包含特异性成分。

载荷多项式为

(A.2)

在测量方程中，阶数m控制着动态异质性。原则上，m可以是任何非负整数。在下面的因子设计中，我们将注意力限制在m ∈ {0, 1}。当m = 0时，模型没有动态异质性：每个可观测变量仅加载在同时期的共同因子上。当m = 1时，可观测变量可以加载在同时期因子和一个月的滞后上。这是Antol´ın-D´ıaz等人（2024年）使用的动态异质性规范，他们报告称m = 1足以允许丰富的领先-滞后异质性，而他们的偏差信息准则（DIC）比较支持m > 0但不支持更高的滞后阶数。通过将GDP方程中的同时期加载设置为一来规范化共同因子。

设

在所有规范中，我们设定p = q = 2。

因子和特异性成分是

(A.3)

(A.4)

和 h_ηi,t ≡ log σ²_{η ,t}. 然后 2

(A.5)

(A.6)

在恒定波动性规范中，σ_ε,t 和 σ_{η ,t} 是时间不变的。

时间变化的长期增长规范对总产出的支出和收入度量施加了一个共同的低频分量：

(A.7)

设 G = {GDP, GDI}。选择向量是

(A.8)

如果没有时间变化的长期增长，c_t = c。在实证实施中使用的标准化估计系统中，c = 0。在估计之前对转换后的系列进行标准化，因此没有单独估计的截距向量。

当异常值调整不活跃时，o_i,t = 1。当它活跃时，遵循Hong (2025)，标准化的特异性创新 √o_i,tη_i,t 遵循具有ν_i 自由度的学生-t分布。对于估计，我们使用等效的正态-逆伽玛尺度混合表示：

(A.9)

等价地，ν_i/o_i,t ∼ χ²_ν .

遵循Mariano和Murasawa (2003)，对于季度增长率x^q 和其潜在的月度增长率x^m_t ,

(A.10)

遵循Hong (2025)，采样器对未观测到的季度特异性成分施加(A.10)，而不是直接对季度变量施加。

A.3 模型规范

我们评估了动态因子模型的四个共同特征：随机波动性、Λ(L)中的动态异质性、时间变化的长期增长和乘法异常值调整。每个特征可以打开或关闭，产生2⁴ = 16种可能的规范。为了便于记号，下面的图形和表格使用了图1中定义的紧凑规范标签：B表示没有时间变化的长期增长的规范，而T表示有时间变化的长期增长的规范。当随机波动性、动态异质性和异常值调整活跃时，分别包括后缀SV、DH和O。

[45] A.4 状态空间表示

A.4 The state space representation

该采样器使用了两个状态空间系统。第一个是一个单变量系列系统，用于恢复季度变量的月度特有成分。第二个是包含观测到的月度变量和月度插值的季度变量的多变量动态因子系统。

季度特有成分的月度插值。对于每个季度变量 i ∈ {1, . . . , n}，_q定义

(A.11)

季度特有成分的月度插值是通过以下方式获得的

(A.12)

(A.13)

其中

(A.14)

在实现中，R = 0，对应于精确聚合。给定 u^M_i,t，可以重建季度系列的月度插值值，如下所示

(A.15)

当相应的特征未包括时，省略缺失项。

动态因子状态空间。设

(A.16)

表示准差分系列。首先排列季度变量，

(A.17)

设 d = max{p, q}。准差分数据的状态空间系统为

(A.18)

(A.19)

这里，uet ^iid∼ N(0, In) 和 eet ^iid∼ N(0, Is_ξ) 是相互独立的，其中 sξ = d + m + 1 没有时间变化的长期增长，s_ξ = d + m + q + 2 有它。对于时间变化的长期增长规范，

(A.20)

没有时间变化的长期增长，g_t 块被删除。当 m = 0，

(A.21)

其中

(A.22)

和

(A.23)

当 m = 1, C^λ 扩展到包括相应的准差分负载 f_t−1.

转移矩阵是

(A.24)

和

(A.25)

冲击负载矩阵是

(A.26)

(A.27)

A.5 先验

对于负载块，

(A.28)

(A.29)

GDP 同期因子负载固定为一。在时间变化的长期增长规范中，GDP 和 GDI 的趋势负载固定为一；GDI 因子负载是估计的。

对于自回归参数，

(A.30)

(A.31)

排除意味着非平稳的 φ(L) 或 ρ_i(L) 的抽样。

在恒定波动性规范中，

(A.32)

在随机波动性规范中，对数波动性随机游走的创新方差有先验

(A.33)

初始对数波动性满足

(A.34)

对于长期增长创新方差，

(A.35)

负载、自回归系数、随机波动性和长期增长的先验遵循 Antol´ın-D´ıaz 等人（2024）的收缩逻辑。同期因子负载以标准化变量的尺度为中心，滞后负载和特有自回归系数以零为中心，先验方差随滞后长度减小。随机波动性和长期增长过程的创新方差的先验向恒定波动性和恒定长期增长规范收缩。

对于乘性异常值调整，尺度分布由 (A.9) 给出。对于每个月度指标 i > n_q自由度是针对每个特定系列的，并且具有离散的先验

(A.36)

对于每个季度变量 i ≤ n_q，ν_i 被固定在30。因此，所有系列都接受乘法尺度抽取，而季度创新被限制为具有明显更细的尾部。

A.6 吉布斯采样器算法

采样器具有块结构。上标 j 表示当前迭代。当相应的特征不活跃时，省略与随机波动性、时变长期增长、动态异质性或异常值调整相关的块。

初始化。初始化模型参数、随机波动性路径、乘法尺度、自由度，以及季度变量的月度插值。设置 j = 1。
对当前月度面板进行准差分。给定 ρ^j−1 和当前月度插值的季度变量，构造

其中 Q(·; ρ) 表示逐系列准差分算子。模拟平滑器中使用的特异性

创新协方差的对角元素 σ^2,j−1_{η ,t} o^j−1_i,t 。0i,

绘制共同状态。在当前参数、波动性路径和乘法尺度的条件下，绘制状态序列 {ξ^j_t }^T_t=1，因此 {f^j_t }^T_t=1 并且，当存在时，{g^j_t }^T_t=1，使用应用于 (A.18)–(A.19) 的模拟平滑器。
绘制加载块。在 {ξ^j_t }^T_t=1，ρ^j−1，特异性波动性路径和乘法尺度的条件下，测量方程简化为独立的准差分高斯回归。逐个方程绘制 Λ^j , . . . , Λ^j 。对 GDP,0_{施加 λ} = 1；在时变长期增长规范中，对 GDP 和 GDI 施加单位趋势负荷，并估计 GDI 因子负荷。
绘制特异性自回归系数和波动性。对于每个系列，根据当前的共同状态和负荷绘制 ρ^j 从特异性自回归中。拒绝非平稳抽取。在给定 ρ^j的条件下，通过 q 标准化特异性创新，并更新特异性波动性路径：当随机波动性活跃时使用随机游走对数波动性块，否则使用逆伽马更新。
绘制长期增长创新方差。如果时变长期增长块是活跃的，那么在当前路径 {g^t=1_g 的条件下绘制 ω^j_t }^T_2,j。鉴于 A.5 节中的逆伽马先验和 g_t的随机游走运动法则，条件后验是逆伽马。
绘制因子自回归系数和波动性。在给定 {f^j t=1^j_t }^T_{和因子波动性路径的条件下，从因子自回归中绘制 φ} 。拒绝非平稳抽取。在给定 φ^j的条件下，当活跃时使用随机波动性块更新因子波动性路径，否则使用逆伽马更新。
绘制异常值和自由度。如果异常值调整是活跃的，那么在标准化的特异性创新基础上绘制{o}。^j }条件于标准化的特异性创新。然后在网格{3, ..., 40}上更新每个每月的ν。^j 季度自由度保持在30固定。如果等于1。
更新每月插值的季度变量。对于每个季度变量，计算季度特异性成分，排除共同因素。从(A.12)–(A.13)中绘制{u^M,j_i,t }^T_t=1 使用创新方差σ² o_i,t，并重建每月插值的季度序列y_i,t Q,M,j
迭代。设置j = j + 1并重复直到收敛。

对于每个规范和每月信息集，我们丢弃前10,000次Gibbs采样迭代作为烧入，并保留每50个后续抽取直到获得1,000个后验抽取。

B 附加的现在预测结果

B.1 GDP预测

图B.1–B.3绘制了实现的实际GDP增长和特定预测范围的目标季度GDP增长。评估窗口为2015Q1–2019Q4、2020Q1–2021Q4和2022Q1–2024Q4。实际GDP增长显示了一年的预测窗口历史。面板标签编码了规范：B排除了时间变化的长期增长，T包括它，SV表示随机波动性，DH表示动态异质性，O表示异常值调整。每个面板使用固定的垂直范围，以便于阅读该时期内大部分预测；如果一个现在预测超出了这个范围，则以三角形的形式在面板的上边缘或下边缘绘制，并用其数值进行注释。在大流行图（图B.2）中，这些标记仅出现在没有异常值调整的面板中（B、B-DH、B-SV、B-SV-DH、T、T-DH、T-SV、T-SV-DH）。其中几个现在预测错过了实际GDP增长超过100个百分点；注释的预测值包括大约−193%和−228%。在有异常值调整的面板中没有出现这样的标记。这与第6节的讨论一致，即异常值调整虽然没有提高平均点或密度预测的准确性，但它限制了大流行期间最极端个别预测的大小。

Fi_gure B _. 1 _: R_eal GD P _growth f_orecast_{s an}d _reali_zati_ons b_{y spec}ifi_cati_{on : pre}-_pand_emi_{c per}i_od _. S_pecifi_cati_on l_ab_el_{s :} B _excl_ud_es _and T i_ncl_ud_es ti_me-_varyi_ng l_ong-_run _growth _; SV D H _and O d_enot_e _st_och_asti_c _vol_atilit_y d_ynami_c h_et_erogeneit_y and outlier adj ustment respectively_.

Fi_gure B _. 2 _: R_eal GD P _growth f_orecast_{s an}d _reali_zati_ons b_{y spec}ifi_cati_{on : pan}d_emi_{c per}i_od _. S_pecifi_cati_on l_ab_el_{s :} B _excl_ud_es _and T i_ncl_ud_es ti_me-_varyi_ng l_ong-_{run grow}th _; SV DH _and O d_enot_{e s}t_och_asti_{c vo}l_atilit_y d_ynami_c h_et_erogeneit_y and outlier adj ustment respectively

Fi_gure B _. 3 _: R_eal GD P _growth f_orecast_s _and _reali_zati_ons b_y _specifi_cati_{on :} _post-_pand_emi_c _每i_od _. S_特定经济与金融指标_加州提_问 l_ab_el_： B _除l_ud_了 _和以及 TI_有限公司l_ud_们时_间-_变i_化 l_长-_运 _增长 _; SV D H _和老年_人t_e _st_口h_统计_c _学l_a变_y d_化i_c h_et_动性_y 和异常值调整分别_.

B.2 预测误差平方根按预测范围和规格划分

图 B.4–B.6 报告了每个评估期间按预测范围和模型规格划分的预测误差平方根。行是预测范围，列是规格。单元格条目是预测误差平方根；每种颜色在每个预测范围内都进行了标准化，因此颜色比例在预测范围内比较规格。

按预测范围和规格划分的预测误差平方根，大流行前颜色在每个预测范围内都进行了标准化；较低的值更好

图 B.4：按预测范围和规格划分的预测误差平方根：大流行前时期。单元格条目是年度化季度对季度实际 GDP 增长的百分点。每种颜色在每个预测范围内都进行了标准化；黑色轮廓标记了该预测范围内的最低损失。规格标签：B 排除和 T 包括时间变化的长期增长；SV、DH 和 O 分别表示随机波动性、动态异质性和异常值调整。

图 B.5：按预测范围和规格划分的预测误差平方根：大流行期间。单元格条目是年度化季度对季度实际 GDP 增长的百分点。每种颜色在每个预测范围内都进行了标准化；黑色轮廓标记了该预测范围内的最低损失。规格标签：B 排除和 T 包括时间变化的长期增长；SV、DH 和 O 分别表示随机波动性、动态异质性和异常值调整。

按预测范围和规格划分的预测误差平方根，大流行后颜色在每个预测范围内都进行了标准化：较低的值更好

图 B.6：按预测范围和规格划分的预测误差平方根：大流行后时期。单元格条目是年度化季度对季度实际 GDP 增长的百分点。每种颜色在每个预测范围内都进行了标准化；黑色轮廓标记了该预测范围内的最低损失。规格标签：B 排除和 T 包括时间变化的长期增长；SV、DH 和 O 分别表示随机波动性、动态异质性和异常值调整。

B.3 平均连续概率评分按预测范围和规格划分

图 B.7–B.9 报告了每个评估期间按预测范围和模型规格划分的平均连续概率评分。行是预测范围，列是规格。单元格条目是平均连续概率评分；每种颜色在每个预测范围内都进行了标准化，因此颜色比例在预测范围内比较规格。

图B.7：不同预测期限和模型设定下的CRPS：大流行前时期。单元格中的条目是以年度化季度对季度实际GDP增长的百分点表示。每个预测期限内的颜色已标准化；黑色轮廓标记了该期限内最低损失。模型设定标签：B排除而T包含时变长期增长；SV、DH和O分别代表随机波动性、动态异质性和异常值调整。

B.4 经济活动因子

图B.1至B.9使用第4节描述的伪实时练习评估预测准确性，在该练习中，每个模型设定都在每个月的预测起点重新估计。本小节则报告了对图1中16个模型设定的单一、独立的全样本估计：每个模型设定只在完整数据集上估计一次，直到最新的可用版本，而不是每月重新估计。因此，这项练习与本文其他地方报告的预测评估结果不同，也不可直接比较；它仅旨在可视化每个模型设定提取的共同因子。底层平滑估计基于截至2025年11月的数据；图B.10至B.13仅显示截至2024年12月的观察结果，以匹配

图B.8：不同预测期限和模型设定下的CRPS：大流行时期。单元格中的条目是以年度化季度对季度实际GDP增长的百分点表示。每个预测期限内的颜色已标准化；黑色轮廓标记了该期限内最低损失。模型设定标签：B排除而T包含时变长期增长；SV、DH和O分别代表随机波动性、动态异质性和异常值调整。

图B.9：不同预测期限和模型设定下的CRPS：大流行后时期。单元格中的条目是以年度化季度对季度实际GDP增长的百分点表示。每个预测期限内的颜色已标准化；黑色轮廓标记了该期限内最低损失。模型设定标签：B排除而T包含时变长期增长；SV、DH和O分别代表随机波动性、动态异质性和异常值调整。

文章中考虑的经验时期。

对于每个规格，图B.10绘制了估计的共同“经济活动”因子的后验均值以及一个68%的可信区间（后验抽样中的第16和第84百分位数）与两个实际增长的外部基准相对比。PDFP增长是圣路易斯联邦储备银行FRED数据库报告的实际最终销售给私人国内购买者的复合年增长率——即排除了政府支出、净出口和库存的GDP。在2025年7月的一次新闻发布会上，联邦储备系统主席杰罗姆·鲍威尔描述私人国内最终购买为“一个更窄但更好的信号，指示未来经济的走向”（鲍威尔，2025）。GDPplus（也称为GDP+）是由费城联邦储备银行生产的一种实际经济活动增长的替代衡量方法，它结合了来自GDP支出和收入两侧估计的信息（Aruoba等人，2016）。将因子与两个基准而不是仅与总的实际GDP进行比较，提供了额外的描述性检查，以确定潜在因子是否与经济活动的其他衡量方法共同变动。由于因子和两个增长系列的尺度不同，比较是非正式的：因子绘制在左侧轴上，两个增长基准绘制在右侧轴上。两个尺度在各面板中是通用的，并且右侧尺度定位使得PDFP和GDPplus的汇总时间平均值与因子尺度上的零点相吻合。因此，这些系列一起显示，以评估时机和转折点的一致性，而不是精确的数值对应关系。

Fi_gure B _. 1 0 _: E_sti_mat_ed _economi_{c ac}ti_vit_y f_act_{or an}d _ext_ernal _growth b_ench_mark_s b_{y spec}ifi_cati_{on .} Th_{e pos}t_eri_{or mean an}d 68 percent credible band of the factor are shown at calendar-quarter ends through 2024Q4 The factor is measured in _st _and_ardi_zed _mod_el _unit_s _on th_e l_eft-h_and _axi_{s ;} P D FP _and GD P_pl_us _are _annuali_zed _quart_er-_over-_quart_er _growth _rat_{es measure}d i_{n percen}t _on th_{e r}i_ght-h_and _axi_{s .} B_oth _{axes are common across pane}l_{s .} P D FP d_enot_{es rea}l fi_nal _sal_es t_{o pr}i_vat_e d_omesti_{c purc}h_{asers ;} GD P_pl_{us com}bi_{nes expen}dit_ure- _and i_ncome-_sid_{e es}ti_mat_{es o}f _real GD P growth (Aruoba et al _. 20 1 6) _. Specification labels : B excludes and T includes time-varying long-run growth ; SV D H _, and O denote stochastic volatility_, dynamic heterogeneity_, and outlier adj ustment _, respectively_.

B.5 Additional model estimates

For the richest specification, T-SV -DH-O, the same full-sample estimation also delivers the shared long-run growth component g_t defined in equation (A.7) above. Because g_t 在将后验抽样映射到季度频率时，我们首先使用方程(A.10)中的混合频率权重，然后使用估计中使用的均值和标准差来取消GDP的标准化，并将结果的年度化季度对季度路径转换为四季度增长率。

图B.11将这个季度长期增长成分与PDFP和GDPplus四季度增长率进行对比，将这三个系列放在一个共同的、视觉上可比较的尺度上。其后验均值比两个基准更为平滑，旨在捕捉增长中的低频变化，而不是商业周期波动。

图B.11：由g隐含的季度长期增长成分_t 对于T-SV-DH-O：后验均值和68%可信区间来自与图B.10相同的全样本估计，与PDFP和GDPplus四季度增长率进行比较。仅显示截至2024年12月的观测值。规格标签：B排除，T包括时变长期增长；SV、DH和O分别代表随机波动性、动态异质性和异常值调整。

T-SV-DH-O的相同全样本估计提供了每个系列的基线特异性创新方差exp(hη,t)。_η，t_{图B.12绘制了其标准差的后验均值和68%可信区间的日历季度末读数，重新缩放为表1中报告的单位，并限制在系列被观测的日期。这个基线（“清洁”）标准差排除了乘性异常值尺度，旨在捕捉特异性波动性的逐渐、持久变化。}η

Fi_gure B _. 1 2 _: E_sti_mat_ed idi_osyncrati_c i_nnovati_{on s}t _and_ard d_evi_ati_on b_{y ser}i_es f_or T- SV- D H- O _{：后验均值和68%可信带的pexp(h)重新缩放为表1中报告的单位。日历季度末读数显示至D}t_ecemi_anon _y每ser _t es_下可ava_ilb_bilit 2024 _{y w}d _owl_romh _thi_{e same} ^’ _ll-samp_ae es_tii_nd_ma f_ti on_as f_uFi_gurel_pecifi_cati_on _{s :} exc_es B _. 1 0 _. S_anT i_nces_time l_ab_el_vary B _ngl_ud_ong _rungrow_thl_ud_{SV DH} an_{d O denote stochastic volatility, dynamic heterogeneity, and outlier adjustment respectively}-_Fii_gure l_{1 3 i}-_so _esow _; th _multi_.

li_ca B _. ti_vel_at_ou h_tli er_e _scanges_pth_aseli_ne _idiosyncra_ti _nnoval_e _ch_ti on_e b_votilit_th es_{t sp ecification}Because o_c i_{i t}is a strictly p ositive variance scale the figure describ es changes in disp ersion_{Positive (negative) values mean that the scale raises (lowers) the conditional st andard deviation relative to the sto chastic-volatility baseline and} _{zero corresp on}l_ao oi t_y i_n th_e _ri_ch_est sp ecification _. Because o_{i t} is a strictly p ositive variance scale the figure describ es changes in disp ersion _. Positive (negative) values mean that the scale raises ( lowers ) the conditional st andard deviation relative to the sto chastic-volatility baseline and _{zero corresp on}d_s t_{o oi t} = 1 _.

图B 1 3：由于T-SV-DH-O系列的乘法异常值调整，特有创新标准差的变化，pexp(h)的后验均值和68%可信区间 _t ) o_{i t} − pexp ( h _t ) 在 _单位_{s re or}t_ed i_n T_abl_e 1 C _al_end_ar- _uart_er-_end _readi_{n s} th_rou h D_ecemb_er 2024 _{are s}h_{own over eac}h _seri_es _avail_abilit_y _wi_nd_ow _usi_ng th_e _same f_ull-_sampl_e _esti_mati_on _as Fi_gure B _. 1 0 _. S_pecifi_cati_on l_ab_el_{s :} B _excl_ud_es _and T i_ncl_ud_es ti_me-_varyi_ng l_ong-_{run grow}th _; SV DH _and O d_enot_{e s}t_och_asti_{c vo}l_atilit_y d_ynami_c h_et_erogeneit_{y an}d outlier adj ustment resp ectively_.

C 平衡配对因子对比

C.1 平方预测误差和CRPS损失

平方预测误差和CRPS损失，以及相应的平衡配对因子对比，在第5节（方程9-16）中定义。图2以图形方式报告了这两种损失的整体和特定制度效应；因为该图不显示底层的bootstrap概率，下面的表C.1和C.2以数字形式报告了相同的效应和置信区间，以及P_boot(∆ < 0).

表C.1：整体平方预测误差和CRPS效应

特征效应 % 90% CI Pboot(∆ < 0)

平方预测误差

随机波动性 -12.2 [ -23.5, 1.4] 0.93

动态异质性 -16.8 -30.8, -1.4] 0.96

TV长期增长 -13.3 -34.3, 14.0] 0.80

异常值调整 6.4 [ -4.4, 18.9] 0.18

CRPS

随机波动性 -3.8 -8.3, 0.9] 0.91

动态异质性 -7.6 -10.9, -4.2] 1.00

TV长期增长 3.8 [ -0.5, 8.2] 0.07

异常值调整 2.9 0.2, 5.7] 0.04

注：条目是百分比损失变化，100(exp( ^¯d_j) − 1)。区间是从5,000个目标季度bootstrap复制中得到的90%百分位区间。P_boot(∆ < 0)是降低对数损失的bootstrap复制的比例。负效应表示预测损失较低。TV表示时变。

表C.2：特定制度平方预测误差和CRPS效应

特征	制度	效应 %	90% CI	Pboot(∆ < 0)
平方预测误差
随机波动性	大流行前	-8.5 -23.2,	9.4]	0.80
随机波动性	大流行	-18.8 -39.3,	12.9]	0.85
随机波动性	大流行后	-13.5 [ -35.8,	16.3]	0.78
动态异质性大流行前		-25.8 [ −41.3,	-7.0]	0.99
动态异质性大流行		-8.6 -46.9,	38.3]	0.59
动态异质性大流行后		-5.6 [ -28.6,	28.1]	0.64
TV长期增长	大流行前	-0.0 [ -33.6,	49.8]	0.49
TV长期增长	大流行	-0.3 -29.1,	33.8]	0.50
TV长期增长	大流行后	-37.7 [ -63.5,	7.2]	0.92
异常值调整	大流行前	-2.1 [ -9.6,	5.7]	0.65
异常值调整	大流行	-2.4 −-26.4,	24.8]	0.56
异常值调整	大流行后	29.7 [ -1.8,	72.6]	0.06
CRPS
随机波动性	大流行前	-6.0 [ -9.9,	-1.8]	0.99
随机波动性	大流行	5.9 [ −11.1,	25.0]	0.29
随机波动性	大流行后	-6.3 [ −12.1,	0.3]	0.94
动态异质性大流行前		-8.1 [ −11.9,	-4.3]	1.00
动态异质性大流行期间		-2.7 −14.0,		8.3] 0.63
动态异质性大流行后		-9.9 [ -15.0,	-4.7]	1.00
电视长期增长	大流行前	2.9 −2.9,		9.2] 0.21
电视长期增长	大流行期间	4.2 [ -4.5,	13.1]	0.22
电视长期增长	大流行后	5.0 -3.3,	14.0]	0.18
异常值调整	大流行前	-0.3 -1.2,		0.5] 0.72
异常值调整	大流行期间		3.5 [ -4.6,	11.6] 0.25
异常值调整	大流行后	8.0 [	1.3, 15.7]	0.02

注释：条目是百分比损失变化，100(exp( ^¯d_jp) − 1)。区间是从每个制度内进行的5000个目标季度引导复制的90%百分位区间。P_boot(∆ < 0) 是引导复制中特征降低对数损失的份额。负效应表明较低的预测损失。TV表示时间变化的。

制度特定的平方预测误差和CRPS效应在表C.2中反映了第6节讨论的模式：动态异质性的收益集中在大流行前后，而不是在大流行期间；随机波动性的CRPS改进在大流行前最为明显；时间变化的长期增长的平方误差收益在大流行后估计不精确；异常值调整在大流行后提高了CRPS，而在其他两个制度中没有明确的效应。

C.2 分位数得分

分位数得分和相应的平衡配对因子对比在第5.1节和第5.2节中定义（方程11-17）。整体分位数得分效应在图3中以图形方式报告；下面的表C.3以数字形式报告相同的效应，分为下尾和上尾分位数。

表C.3：整体分位数得分效应

特征	效应 %	90% CI	Poot(ds S < 0)
α = 0.05
随机波动性		-4.8 [ −11.4,	12.9] 0.64
动态异质性		-0.3 [ -9.2,	3.1] 0.57
电视长期增长		3.6 1.5, 8.6]	0.00
异常值调整		12.1 −16.6, 27.5]	0.29
α = 0.10
随机波动性	-3.8 -8.8,	6.3]	0.70
动态异质性		0.3 -7.6, 3.4]	0.47
电视长期增长		2.8 0.7, 6.8]	0.01
异常值调整		4.4 −17.0, 18.4]	0.37
α = 0.90
随机波动性	-23.2 [ -40.6,		27.4] 0.65
动态异质性		-6.2 [ -17.5, -1.9]	1.00
电视长期增长异常值调整		1.5 -5.6, 10.0]	0.31 0.88
	-22.8 [ -40.2,	3.3]
α = 0.95
随机波动性	-35.0 [ -52.2,		31.4] 0.64
动态异质性	-4.8 [ -17.7,		0.7] 0.91
电视长期增长		0.5 -6.9,	8.8] 0.40
			3.9]
异常值调整	-23.9 [ -51.6,		0.89

注释：条目是相对于匹配特征规格的平均分位数得分的百分比变化。引导区间是从5000个目标季度引导复制的90%百分位区间。P_boot(· < 0) 是特征降低分位数得分的引导复制的份额。负效应表明较低的分位数得分。TV表示时间变化的。

表C.4：特定制度的分位数得分效应：下尾部

特征	制度	效应 %	90% CI	Pboot(d)s < 0)
α = 0.05
随机波动性	大流行前	-7.9 -10.0,	-6.0]	1.00
随机波动性	大流行期间	-4.3 −12.2,	36.7]	0.66
随机波动性	大流行后	-5.1 [ −10.6,	0.4]	0.94
动态异质性大流行前		-5.4 [ -8.0,	-2.5]	1.00
动态异质性大流行期间		3.4 -2.5,	9.2]	0.10
动态异质性大流行后			-17.5 [ −26.1, −10.2]	1.00
TV长期增长	大流行前	12.0	9.6, 14.6]	0.00
TV长期增长	大流行期间	2.8	0.7, 9.1]	0.02
TV长期增长	大流行后	0.9 -9.0,	14.5]	0.43
异常值调整	大流行前	0.3 -0.3,	0.9]	0.21
异常值调整	大流行期间	15.2 [ −28.4,	32.3]	0.29
异常值调整	大流行后	4.3 −12.4,	20.0]	0.28
α = 0.10
随机波动性	大流行前	-7.5 [ -9.8,	-5.4]		1.00
随机波动性	大流行期间	-2.3 -9.0,		25.2]	0.61
随机波动性	大流行后	-7.4 −13.8,		-2.4]	1.00
动态异质性大流行前			-6.4 −9.6,	-2.8]	1.00
动态异质性大流行期间			5.2 0.8,	8.5]	0.04
动态异质性大流行后		-15.8 −22.8,		-9.5]	1.00
TV长期增长	大流行前	14.4 [ 11.3,		17.9]	0.00
TV长期增长	大流行期间		1.8 −0.4,	7.0]	0.09
TV长期增长	大流行后		-3.1 [ −11.4,	7.4]	0.73
异常值调整	大流行前		0.5 -0.2,	1.2]	0.14
异常值调整	大流行期间		4.8 -28.7,	23.3]	0.40
异常值调整	大流行后		6.3 [ -7.5,	19.7]	0.23

注释：条目是相对于匹配的特征规格的平均分位数得分的百分比变化。引导区间是从每个制度内进行的5000个目标季度引导复制的90百分位区间。P_boot(· < 0)是引导复制中特征降低分位数得分的份额。负效应表示较低的分位数得分。TV表示时间变化的。

表C.5：特定制度的分位数得分效应：上尾部

特征	制度	效应 %	90% CI	Pboot(dβs < 0)
α = 0.90
随机波动性	大流行前	-8.7 [ -13.7,	-3.4]	0.99
随机波动性	大流行期间	-28.9 -45.9,	111.8]	0.66
随机波动性	大流行后	-0.9 [ −11.4,	8.9]	0.57
动态异质性大流行前		-4.9 -13.4,	3.1]	0.84
动态异质性大流行期间		-4.7 [ -27.7,	-0.3]	0.97
动态异质性大流行后		-15.1 [ -19.5,	-10.2]	1.00
TV长期增长	大流行前	-9.8 −13.2,	-6.6]	1.00
TV长期增长	大流行期间	0.0 [ −11.7,	17.6]	0.46
TV长期增长	大流行后	22.9 18.7,	28.7]	0.00
异常值调整	大流行前	-1.2 [ -2.5,	-0.2]	0.98
异常值调整	大流行期间	-30.4 −58.4,	2.8]	0.93
异常值调整	大流行后	6.8 4.4,	10.3]	0.00
α = 0.95
随机波动性	大流行前	-9.9 [ -13.4,	-6.9]		1.00
随机波动性	大流行期间	-41.7 [ -56.9,		130.8]	0.67
随机波动性	大流行后		2.3 [ -8.4,	12.2]	0.37
动态异质性大流行前			-1.9 -6.4,	2.6]	0.77
动态异质性大流行期间			-3.6 [ -28.3,	2.2]	0.80
动态异质性大流行后		-15.5 [ −19.2,		-11.6]	1.00
电视长期增长	疫情前		-8.4 [ −10.6,	-6.2]	1.00
电视长期增长	疫情		-0.7 [ -12.5,	15.3]	0.54
电视长期增长	疫情后		19.1 16.2,	22.8]	0.00
异常值调整	疫情前		-0.6 -1.5,	0.2]	0.90
异常值调整	疫情		-30.1 [ −70.4,	0.4]	0.95
异常值调整	疫情后	9.2	6.8,	12.5]	0.00

注释：条目是相对于匹配特征规格的平均分位数得分的百分比变化。在每个制度内进行的5000次目标季度自助复制中，自助区间是90%的百分位区间。P_boot(· < 0) 是自助复制中小于分位数得分的自助复制的份额。负效应表示较低的分位数得分。TV表示时间变化。

分位数得分结果并没有颠覆密度预测证据。对于动态异质性，90%分位效应是唯一一个整个分位效应区间完全低于零的。制度特定估计显示，在疫情前后都有较低尾部的改进，并且在疫情后有最清晰的上尾部改进。异常值调整在四个分位数上都没有明确的整体效应，但在疫情后它提高了90%和95%分位数得分。随机波动性和时间变化的长期增长也显示出在分位数和制度间变化的效应。

D 移动块自助法稳健性

第5.2节描述的目标季度自助法与预测练习的多范围结构相匹配：当一个季度被重新抽样用于给定特征对比时，与该季度相关的所有七个范围都保持在一起。这保留了由于评估多个预测范围对于同一实际GDP结果而产生的依赖性。然而，它将结果季度级别的对象视为独立。这可能是限制性的，因为相邻季度的预测是基于大量重叠的信息集产生的。

作为稳健性检查，表D.1报告了目标季度的移动块自助法。该程序形成重叠的四个季度块，用替换的方式重新抽样这些块，将它们连接起来，并将结果序列截断为评估样本的长度。在重新计算平均平衡配对因子对比之前，保留与每个选定季度相关的所有七个范围。我们仅报告这一练习的整体效应。制度特定样本在疫情期间尤其短，对于块重新抽样来说信息量不足。

表D.1：使用四季度移动块自助法的整体效应

特征效应 % 90% CI PMB(∆ < 0)

预测误差平方

随机波动性 -12.2 [ −22.1, 0.1] 0.95

动态异质性 -16.8 [ -25.7, -5.5] 0.99

电视长期增长 -13.3 -30.2, 4.6] 0.90

异常值调整 6.4 [-5.0, 23.0] 0.23

CRPS

随机波动率 -3.8 [-7.4, 3.0] 0.81

动态异质性 -7.6 [-10.4, -4.8] 1.00

TV 长期增长 3.8 [0.1, 6.3] 0.04

异常值调整 2.9 [0.1, 6.5] 0.04

注：条目是百分比损失变化，100(exp(d) − 1)。区间是从5000个移动块引导复制中得到的90%百分位区间，使用目标季度的重叠四季度块。 ^¯MBB_{(∆ < 0) 是引导复制中特征降低对数损失的份额。负面效应表明较低的预测损失。TV 表示时变。}移动块引导保持了主要定性排名不变。动态异质性仍然是唯一一个在两种损失函数下区间完全低于零的特征。异常值调整的平方误差效应仍然不精确，而其CRPS效应为2.9%，90%区间为0.1%到6.5%。随机波动率仍然不精确。时变长期增长具有不精确的平方误差效应，并且使CRPS提高了3.8%，90%区间为0.1%到6.3%。

参考文献

Almuzara, M., Baker, K., O’Keefe, H., and Sbordone, A. (2023). The New York Fed Staf Nowcast 2.0. New York Fed Staf Nowcast Technical Paper, Federal Reserve Bank of New York. https://www.newyorkfed.org/medialibrary/media/research/blog/2023/ NYFed-Staff-Nowcast_technical-paper.

Antol´ın-D´ıaz, J., Drechsel, T., and Petrella, I. (2017). Tracking the slowdown in long-run GDP growth. The Review of Economics and Statistics, 99(2):343–356.

Antol´ın-D´ıaz, J., Drechsel, T., and Petrella, I. (2024). Advances in nowcasting economic activity: The role of heterogeneous dynamics and fat tails. Journal of Econometrics, 238(2):105634.

Aruoba, S. B., Diebold, F. X., Nalewaik, J., Schorfheide, F., and Song, D. (2016). Improving GDP measurement: A measurement-error perspective. Journal of Econometrics, 191(2):384–397.

Banbura, M., Giannone, D., Modugno, M., and Reichlin, L. (2013). Now-casting and the real-time data flow. In Elliott, G. and Timmermann, A., editors, Handbook of Economic Forecasting, volume 2, pages 195–237. Elsevier.

Carriero, A., Clark, T. E., and Marcellino, M. (2015). Realtime nowcasting with a bayesian mixed frequency model with stochastic volatility. Journal of the Royal Statistical Society: Series A, 178(4):837–862.

Carriero, A., Clark, T. E., Marcellino, M., and Mertens, E. (2024). Addressing COVID-19 outliers in BVARs with stochastic volatility. The Review of Economics and Statistics, 106(5):1403–1417.

Carriero, A., Galv˜ao, A. B., and Kapetanios, G. (2019). A comprehensive evaluation of macroeconomic forecasting methods. International Journal of Forecasting, 35(4):1226– 1239.

克拉克，T. E. (2011)。具有随机波动率的贝叶斯向量自回归模型的实时密度预测。商业与经济统计杂志，29(3):327–341。

克拉克，T. E. 和拉瓦佐洛，F. (2015)。在替代性时间变化波动率规格下的宏观经济预测表现。应用计量经济学杂志，30(4):551–575。

达戈斯蒂诺，A.，甘贝蒂，L.，和吉亚诺内，D. (2013)。宏观经济预测与结构变化。应用计量经济学杂志，28(1):82–101。

达戈斯蒂诺，A.，吉亚诺内，D.，伦扎，M.，和莫杜尼奥，M. (2016)。一种贝叶斯方法的动态异质因子模型的实时预测经济周期。在希尔登布兰德，E. 和科普曼，S. J. 编辑的动态因子模型中，高级计量经济学第35卷，第569-594页。Emerald Group Publishing Limited。

迪博尔德，F. X. 和马里亚诺，R. S. (1995)。比较预测准确性。商业与经济统计杂志，13(3):253–263。

德宾，J. 和科普曼，S. J. (2002)。一种简单且高效的模拟平滑器用于状态空间时间序列分析。生物统计学，89(3):603–616。

贾科米尼，R. 和怀特，H. (2006)。条件预测能力的测试。计量经济学，74(6):1545–1578。

吉亚诺内，D.，里希利尼，L.，和斯莫尔，D. (2008)。实时预测GDP和通胀：宏观经济数据发布的实时信息内容。货币经济学杂志，55(4):665–676。

冈萨雷斯-阿斯图迪略，M. 和巴克罗，D. (2019)。厄瓜多尔的实时预测模型：实施时间变化的平均产出增长。经济模型，82:250–263。

香港，S. S. (2025)。具有厚尾和异常值的实时预测经济活动。工作论文halshs-05046472，HAL。

雅克利尔，E.，波尔森，N. G.，和罗西，P. E. (2004)。具有厚尾和相关误差的随机波动率模型的贝叶斯分析。计量经济学杂志，122(1):185–212。

金，S.，谢泼德，N.，和奇布，S. (1998)。随机波动率：似然推断和与ARCH模型的比较。经济研究评论，65(3):361–393。

马里亚诺，R. S. 和村泽，Y. (2003)。基于月度和季度序列的新一致指数的商业周期。应用计量经济学杂志，18(4):427–443。

鲍威尔，J. H. (2025)。主席鲍威尔2025年7月30日新闻发布会的记录。新闻发布会记录，联邦储备系统董事会，联邦公开市场委员会。

普里梅里，G. E. (2005)。时间变化的结构向量自回归模型和货币政策。经济研究评论，72(3):821–852。

夸德弗利格，R. (2021)。多范围预测比较。商业与经济统计杂志，39(1):40–53。

斯托克，J. H. 和沃森，M. W. (2016)。核心通胀和趋势通胀。经济统计评论，98(4):770–784。

美联储论文：实时预测模型的花哨功能：哪些重要以及何时重要？

常见问题